SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es aquel formado por dos o más ecuaciones con una o varias incógnitas (x, y, z,...) de primer grado.

Los sistemas se nombran indicando el número de ecuaciones y el número de incógnitas que los forman. Así, un sistema 2x2 es aquel formado por dos ecuaciones con dos incógnitas; 3x2 es aquel formado por tres ecuaciones con dos incógnitas y así sucesivamente.

El aspecto que tiene un sistema según sus dimensiones es el siguiente:

Las soluciones de un sistema son los valores de las incógnitas que verifican TODAS las ecuaciones a la vez y resolver un sistema es hallar dichas soluciones

Clasificación de sistemas lineales

Dependiendo de si tienen o no solución se clasifican en:

- Sistema Compatible Determinado (S.C.D.): cuando tiene solución única para cada una de las incógnitas

- Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.): cuando tienen infinitas soluciones para cada una de las incógnitas

- Sistema Incompatible (S.I.): cuando no tiene solución

Teorema de Rouché-Fröbenius

El Teorema de Rouché-Fröbenius sirve para clasificar un sistema atendiendo al rango de matrices. Antes tenemos que saber que cualquier sistema de ecuaciones lineales formado por m ecuaciones y n incógnitas, se puede escribir de forma matricial:

Donde A es la matriz de los coeficientes, X es la matriz columna de las incógnitas y B es la matriz columna de los términos independientes. Igualmente se define la matriz ampliada de los coeficientes, A´= (A|B)

El Teorema de Rouché-Fröbenius dice que, para cualquier sistema formado por m ecuaciones y n incógnitas, se cumple que:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2 hay tres métodos algebraicos y uno gráfico. En este apartado nos ocuparemos de los métodos algebraicos

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el Método de Gauss

Este método se utiliza para sistemas de orden superior a dos y consiste en aplicar el método de reducción repetidas veces hasta conseguir un sistema escalonado (que la primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una):

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el Método de Gauss con matrices

Consiste en triangularizar superiormente la matriz ampliada del sistema mediante operaciones elementales ya conocidas para el cálculo del rango de matrices por Gauss:

1.- sustituir una fila o columna por el producto o cociente de ella misma por un número distinto de cero

2.- intercambiar dos filas o columnas entre sí

3.- sustituir una fila o columna por la combinación lineal de ella misma con otra fila

4.- eliminar las filas o columnas que sean iguales o proporcionales a otras

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por la Regla de Cramer

Sólo se utiliza sólo para S.C.D., ya que el sistema tiene que cumplir dos condiciones:

1.- que el número de ecuaciones ha de ser igual al número de incógnitas

2.- que el determinante de la matriz de los coeficientes no se anule

Bajo estas condiciones, la regla de Cramer dice que la solución de un S.C.D. se obtiene aplicando:

Discusión de sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro

Discutir un sistema de ecuaciones lineales formado por m ecuaciones y n incógnitas con un parámetro es analizar qué tipo de solución tendrá en función del parámetro. Dependiendo de como sea el sistema, procederemos de distinta forma:

Sistemas homogéneos

Los sistemas homogéneos son aquellos que tienen nulos los términos independientes. Estos sistemas son siempre compatibles, ya que al tener la matriz ampliada una columna de ceros, se cumple siempre que Ran(A) = Ran(A´):

- Si el sistema es un S.C.D. con solución única siempre es (0,0,0) y se llama solución trivial.

-Si el sistema es un S.C.I. se resuelve igual que cualquier otro sistema